Главная страница

Развитие логического мышления путем решения логических задач Коваль Татьяна Салимьяновна, Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №3»



Скачать 162.9 Kb.
НазваниеРазвитие логического мышления путем решения логических задач Коваль Татьяна Салимьяновна, Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №3»
Дата10.02.2016
Размер162.9 Kb.
ТипАнализ

Управление образования администрации Горнозаводского муниципального района

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 3» г. Горнозаводска

Развитие логического мышления

путем решения логических задач

Коваль Татьяна Салимьяновна,

Муниципальное образовательное

учреждение «Средняя

общеобразовательная школа № 3»

г. Горнозаводска, учитель

математики и информатики

2006 г.
Содержание



  1. Введение………………………………………………….1

  2. Четыре этапа решения задачи………………………....2

    1. Понимание постановки задачи………………………...2

    2. Составление плана решения…………………………...3

    3. Осуществление плана…………………………………...4

    4. Анализ решения…………………………………………5

  1. Примеры решения задач…………………………………..6

  2. Список используемой литературы………………………11


1. Введение.

Математика принадлежит к числу наук,

имеющих громадное значение для выработки

умения логически мыслить, делать обобщения.
Н.К.Крупская.


Жизнь, особенно техника, а также очень многие науки, ставят перед математикой всё новые и новые задачи. Математикам приходиться разрабатывать вопросы математической теории и создавать методы, обеспечивающие решения возникающих в различных науках и практике задачах. Как же поступают математики? Решение всякой задачи по математике – это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми часто приходиться пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике не обойтись без логики. Учащимся необходимо овладевать умением логически рассуждать. Каждому школьнику надо учиться правильно мыслить. Может быть, это следует делать лишь в старших классах средней школы?

Учиться рассуждать нужно много и постоянно во всех классах школы!

Развитию логического мышления, умению правильно рассуждать, делать выводы способствует решение различных текстовых задач. Умение решать задачи является одним из основных показателей математического развития школьников, глубины усвоения ими учебного материала. В процессе решения задач у ребят формируются умения и навыки моделирования объектов и явлений.

Чтобы развить у учащихся логическое мышление, способность правильно и верно рассуждать, и как следствие, правильно решить любую задачу, учащимся надо усвоить основные этапы её решения.

В своей работе с учащимися 5-6 классов я столкнулась с проблемой. При решении текстовых задач учащиеся видят только числа и стараются, как можно быстрей произвести различные математические действия с данными числами, не задумываясь над вопросами: «что дано в задаче?», «что надо найти?», «как это найти?» и так далее.

Поэтому я поставила перед собой цель: научить учащихся логически рассуждать, формулировать вопросы и строить цепочку рассуждений при решении различных текстовых задач.

Решение любой задачи можно разбить на 4 этапа. Последовательное рассмотрение каждого пункта позволит учащимся без особых затруднений решать не только стандартные задачи, но и задачи повышенной трудности.


2. Четыре этапа решения задачи.
Пытаясь найти решение, мы можем постоянно менять свою точку зрения, свой взгляд на задачу. Мы вынуждены менять свою позицию вновь и вновь. Когда мы только приступаем к решению задачи, то имеем о ней не полное представление. Наша точка зрения становиться несколько иной, когда уже сделаны некоторые успехи.

Чтобы удобнее было осуществлять поиск решения задачи, осуществлять логические рассуждения, будем различать 4 ступени в процессе решения задач.

Каждая из этих ступеней важна сама по себе. Может случиться так, что ученик, ослеплённый блестящей идеей, перепрыгивает через все шаги и сразу переходит к решению задачи. Подобные мысли можно приветствовать, но при этом ученик теряет возможность рассмотреть задачу подробней, произвести некоторый анализ решения. Самое плохое случается, когда ребята принимаются за вычисления, не поняв задачи.

Многих ошибок можно избежать, если, выполняя свой план, ученик проверяет каждый шаг. Большая часть пользы от задачи может быть потеряна, когда ученику не удаётся, рассматривая уже полученное решение, должным образом изучить и проанализировать его.


    1. Понимание постановки задачи.


Нужно ясно понять задачу.

Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен хотеть решить её. Прежде всего, должна быть понята словесная формулировка задачи. Ученик должен быть в состоянии указать главные элементы задачи - неизвестное, данное, условие. Таким образом, на первом этапе не обойтись без вопросов:

Что неизвестно? Что дано? В чём состоит условие?

Ученик должен многократно, с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи. Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, он должен сделать чертёж и указать на нём неизвестное и данные.

Наблюдения показывают, что основная причина всех допускаемых детьми ошибок кроется в неправильной организации первичного восприятия задачи и её анализа без должного уяснения жизненной ситуации, отраженной в задаче, и без её графического моделирования. Каждый ученик должен уметь не только записывать кратко условие задачи, но и проиллюстрировать условие с помощью рисунка, схемы или чертежа.

Чтобы каждый ученик на первом этапе понял задачу, уяснил, о чём эта задача, что в ней известно, что надо узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и так далее, необходимо везде, где только можно использовать моделирование ситуации, отраженной в задаче.

Что же понимается под моделированием задачи? Моделирование в широком смысле слова - это замена действий с обычными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: условными знаками, рисунками, схемами, чертежами. Наглядность, особенно графическая, нужна на всём протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий, побуждает активно мыслить, рассуждать, искать другие пути решения.
Рассмотрим конкретный пример:
Ваня, Петя и Серёжа пошли на рыбалку и поймали вместе 51 рыбку. Ваня поймал в 2 раза больше, чем Петя, а Сережа на 3 рыбки больше, чем Петя. Сколько рыбок поймал каждый мальчик?

Петя - ?

Ваня -?, в 2 раза больше 51 рыба

Серёжа -?, на 3 больше




в2 раза больше на 3 больше

Петя Ваня Серёжа

51 рыбка
Диалог между учителем и учениками может начаться, например, так:

«Что неизвестно в задаче?»

« Количество рыб, которые поймали каждый из ребят».

«Что дано в задаче?»

«Известно, что вместе поймали 51 рыбку».

«Что известно о количестве рыб, пойманных Ваней?»

«Известно, что Ваня поймал в 2 раза больше рыб, чем Петя».

«Что известно о количестве рыб, пойманных Сережей?»

«Известно, что на 3 рыбки больше, чем у Пете».

  1. 2. Составление плана решения.



Нужно найти связь между данными и неизвестными.

Главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Часто оказывается уместным начать работу по осуществлению плана с вопроса: «Известна ли какая – нибудь родственная задача?». Трудность здесь состоит в том, что существует очень много задач, связанных с данной задачей в той или иной степени. Как выбрать задачу, которая действительно будет полезной? Совет такой: «Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую или ранее решенную задачу с тем же или подобным неизвестным!»

Если эти вопросы не помогают, можно начать поиск новых подходящих точек соприкосновения; можно видоизменить, преобразовать модифицировать исходную задачу. «Нельзя ли сформулировать задачу иначе?»

Методика задавания вопросов заключается в следующем: начинать с общего вопроса или совета; затем, если это необходимо, нужно постепенно переходить к более частным и конкретным вопросам и советам. Советы должны быть общими, применимыми не только к данной задаче, но и ко всевозможным задачам, если они имеют цель развить способности учащегося, а не просто частный технический навык решения задач.
Продолжим диалог между учителем и учащимися.
«Вспомните похожие задачи, уже решенные нами, с подобными условиями?»

«Да, мы решали похожую задачу».

(В двух корзинах было 25 яблок. В одной корзине было в 4 раза больше яблок, чем во второй корзине. Сколько яблок было во второй корзине?)

«Правильно. Каким способом мы решали эту задачу?»

«С помощью уравнения».

………………………………………………………………….

«Вам удалось вспомнить задачу, которую вы решали прежде и которая сходна с данной задачей. Попробуем извлечь из неё пользу. Можем ли мы воспользоваться этим методом решения задачи?»

«Да, задачу можно решить с помощью уравнения».

«Введём подходящие обозначения. Какую величину примем за неизвестное Х?»

«Количество рыб, пойманных Петей, так как мы не знаем количество рыб у Пети, но число рыб у других ребят выражается через количество рыб у Пети ».

«Как выразить и записать количество рыб, пойманных Ваней?»

«2*Х».

«Как выразить и записать количество рыб, пойманных Серёжей?»

«3+Х».

« В чём состоит условие, связывающее количество всех рыб, пойманных Петей, Сережей и Ваней вместе?»

«Всего ребята поймали 51 рыбку, т.е. выполняется равенство Х+2*Х+(3+Х)=51».


    1. Осуществление плана.


Нужно осуществить план решения.

Нелегко придумать план, найти идею решения. Осуществить его гораздо легче; здесь потребуется, в основном, терпение. Главное, чтобы учащиеся не забыли план решения. Если ученик сам пришёл к этой идее, постепенно шаг за шагом приходил к конечному результату, он не забудет ход своих мыслей. Основная задача учителя состоит в том, чтобы учащийся проверял правильность каждого своего шага.

Убедиться в истинности некоторого шага можно с помощью логических правил и выводов, задавая каждый раз вопрос: « На основании, какого правила, свойства мы сделали тот или иной шаг?»
Продолжим рассматривать наш пример.
«Решим уравнение Х+2*Х+3+Х=51. Какой первый шаг на пути к решению уравнения будет сделан нами?»

« В левой части уравнения есть слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подчеркнём эти слагаемые. Их можно сложить».

Х+2*Х+3+Х=51
4*Х+3=51

«Что неизвестно в полученном уравнении?»

«Неизвестно первое слагаемое 4*Х».

«Как найти слагаемое?»

«Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычисть известное слагаемое

4*Х=51-3

4*Х=48».

«Что неизвестно в получившемся уравнении?»

«Неизвестен второй множитель».

«Как найти неизвестный множитель?»

«Чтобы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель Х=48: 4

Х=12

12 рыб поймал Петя, 12*2=24 рыбки поймал у Вани, 12+3=15 рыб поймал Серёжа».
Учащийся осуществил свой план. Он записал решение, проверяя и аргументируя каждый свой шаг. Таким образом, можно считать, что задача решена правильно. Однако необходимо осуществлять проверку своего решения.


    1. Анализ решения.


Нужно изучить найденное решение.

Не редко бывает так, что, решив задачу и тщательно написав ё решение, ребята закрывают тетради и начинают выполнять другую работу. Поступая так, они лишают себя самого важного и поучительного, что может дать последний этап в данной работе. Оглядываясь назад на полученное решение, вновь рассматривая и анализируя результат и путь, которым они к нему пришли, ученики могут сделать свои знания более глубокими и прочными и закрепить навыки решения задач. Даже если учащиеся уверены в правильности полученного ответа, необходимо всегда осуществлять проверку своего решения. «Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?»

«Можно ли получить тот же результат иначе?» Конечно, нас больше устраивает более короткий путь рассуждений и доказательств, чем длинный ход мыслей: «нельзя ли увидеть его с первого взгляда?».

Одна из первых и главных обязанностей учителя состоит в том, чтобы не создавать у учащихся впечатления, что математические задачи мало связаны одна с другой и не связаны вообще больше ни с чем. Нужно представить учащимся возможность исследовать, как связана наша задача с другими, когда мы оглядываемся назад на её решение. Очень важно поощрять ребят придумывать случаи и задачи, к которым можно применить полученный метод или результат. «Нельзя ли использовать полученный результат или метод решения в какой-нибудь другой задаче?»
Продолжаем работу над нашей задачей.

«Проверим, верно, ли решена задача?»

«Нужно подставить ответы в условия задачи: 24:12=2, 15-12=3,

24+15+12=51

51=51

«Все условия выполнены. Задача решена верно».

«Правдоподобен ли результат, который мы получили?»

« Да, результаты реальные и подходят к условию задачи».

«Можно ли получить такой же ответ, но другим способом?»

«Можно подобрать ответ».

«Можно, но будет ли этот способ рациональным?»

«Нет. Значит это решение рациональное».


3. Примеры решения задач.


Пример №1 (Математика, 6 класс)

Три группы учащихся очищали каток от снега. Первая группа очистила катка, вторая - того, что осталось, а третья - оставшиеся 250 м2. Вычислить площадь катка?

I этап.

Построим модель задачи, т.е. нарисуем нашу задачу.


2-я группа

1-я группа остатка

часть

3-я часть

250 м2



S-?
«Что дано?»

«Первая группа очистила часть катка, вторая группа- остатка, а третья группа – оставшиеся 250 м2».

«Что неизвестно?»

«Неизвестна площадь катка».

«В чём состоит условие задачи?»

«Сумма площадей всех частей катка, которые расчистили все три группы, равна площади всего катка».

«Как можно обозначить неизвестную величину?»

«Обозначим её через Х».

II этап.

«Что неизвестно?»

«Неизвестна площадь катка».

«Как найти площадь катка?»

«Нужно длину умножить на ширину».

«А обязательно ли нам знать длину и ширину, чтобы узнать площадь?»

«Не знаю, наверно, нет».

«А что достаточно знать для нахождения неизвестной площади?»

«Может площади каждой из частей, расчищенных группами».

«Можем ли мы сейчас найти площадь части катка, очищенной первой группой?»

«Найти не можем, а выразить можно: так как сказано, что от всего катка, то можно записать *Х».

«По какому правилу можно выполнить такое действие?»

«По правилу нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, надо дробь умножить на это число».

«Выразим часть катка, очищенную второй группой»

«Вторая группа очистила от остатка».

«Как найти ту часть, что осталось очистить после первой группы?»

«Всего было Х, расчистили Х , значит остаток выражается так: Х -Х=Х .

Тогда вторая группа очистила * Х ».

«Как теперь мы можем найти площадь?»

«Надо сложить все три участка и получим Х. Уравнение будет таким:

Х+ * Х+250=Х».

«Можем ли мы решать такие уравнения в 6 классе?»

«Нет».

«Значит надо искать другой путь решения задачи.

Решали мы такие или подобные задачи раньше?»

«Нет, не решали».

«А встречали мы задачи, у которых было подобное условие?»

«Да, например, в корзине было несколько яблок, когда из неё достали 7 яблок, то в корзине осталось 12 яблок. Сколько яблок было в корзине?».

«Верно. Как мы решали такую задачу?»

«Составляли уравнение: Х- было яблок всего в корзине. Уравнение Х-7=12».

«Правильно. Применяем такой же принцип решения».

«Я понял. Получится уравнение: Х -Х - *Х=250».

«Запишем краткую запись и уравнение в тетрадь».
III этап

«Решаем уравнение. В левой части уравнения можно сократить дробь на 2, получим следующее уравнение: Х - Х - Х=250».

«Верно».

«В левой части уравнения стоят выражения с одинаковой буквенной частью, значит можно с числами, стоящими перед буквами выполнить действия, а потом приписать букву».

«Правильно, но у дробей разные знаменатели. Как поступить в этом случае?»

«Надо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 36, получим

».

«Как вычисть дроби с одинаковым знаменателем?»

«Надо вычисть числители, а знаменатель переписать. Получим уравнение *Х=250».

«Что неизвестно в полученном уравнении?»

«Неизвестен множитель Х».

«Как найти неизвестный множитель?»

«Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель Х=250 : ».

«Вспомним правило деления числа на дробь».

«Чтобы разделить число на дробь, надо это число умножить на дробь, обратную данной дроби: Х=».

«А как перемножить две дроби?»

«Чтобы умножить две дроби, надо перемножить числители, перемножить знаменатели, и первый результат записать в числитель, а второй результат в знаменатель Х=.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 5, получим Х=1800».

«Итак, что мы нашли, решив это уравнение?»

«Мы нашли неизвестное задачи - площадь всего катка. Получили, что площадь всего катка, который чистили группы равна 1800 м2. Задача решена ».


IV этап

«Правдоподобен ли результат? И нельзя ли сделать проверку?»

«Можно найти площади каждой из частей катка и сложить. Если сумма будет равна

1800 м2, то задача решена правильно».

«Найдите площадь части катка, расчищенной первой группой»

« 2) ».

«Как найти площадь части катка, расчищенной второй группой?»

« м2

Сложим полученные площади и площадь части катка, очищенной третьей группой, получим 1050+500+250=1800 м2 . Условие задачи выполнилось. Задача решена верно».

«Можно ли использовать данный метод решения в других подобных задачах?.

«Можно. Если в задаче неизвестно целое, а известны только части, то можно воспользоваться таким же методом решения».

«Правильно. Попробуйте дома придумать и решить задачу, где будет использоваться подобный метод решения».

Пример № 2 ( Геометрия,7 класс)
Доказать, что у равностороннего треугольника все углы равны.

I этап

«В чём состоит условие задачи?»

«Дан равносторонний треугольник».

« Что следует доказать?»

« Следует доказать, что углы у данного треугольника равны».

«Сделайте чертёж. Введите подходящие обозначения».

С




А В

II этап

«В чем состоит условие задачи. Запишите условие в тетради».

« ∆ АВС - равносторонний, значит АВ=ВС=АС ».

« В чем состоит доказательство задачи?»

« А= В= С «

«Вспомните задачу или теорему, схожую с нашей задачей?»

«Есть теорема, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны».

« В теореме, которую вы вспомнили речь идёт о равнобедренном треугольнике. Есть ли у нас равнобедренный треугольник?»

« Есть ∆ АСВ – равнобедренный с основанием АВ».

« На основании чего можно утверждать, что этот треугольник равнобедренный?»

« Это следует из условия задачи: АС=СВ».

«Но это не доказывает, что данный треугольник равнобедренный. Вам необходимо вспомнить ранее рассмотренные определения и теоремы »

«Я понял. Это определение равнобедренного треугольника: если у треугольника две стороны равны, то он называется равнобедренным».

«Правильно. Что из этого следует?»

«Если треугольник АСВ равнобедренный, то углы при основании у равнобедренного треугольника равны, значит А= В».

«Верно, что мы будем доказывать теперь?»

« Докажем, что углы А и С равны».

«Как это сделать?»

« Нужно рассмотреть треугольник АВС- он тоже равнобедренный».

«Почему вы решили, что он равнобедренный?»

«Стороны АВ=ВС из условия задачи. По определению равнобедренного треугольника следует, что ∆ АВС- равнобедренный».

«И что это нам даёт?»

«Если треугольник АВС равнобедренный, то углы при основании у равнобедренного треугольника равны, значит А = С».

« Всё хорошо, но как доказать равенство всех трёх углов?»

« Если угол В равен углу А и угол А равен углу С, то все три угла равны между собой, значит мы доказали, что у равностороннего треугольника все три угла равны».
III этап

На данном этапе ребята записывают решение, рассмотренное с учителем, у себя в тетради.

Дано: ∆АСВ - равнобедренный.
Доказать: А= В= С

Доказательство:

  1. АВ=АС=ВС ( по условию)

  2. ∆ АСВ с основанием АВ–равнобедренный ( по определению и АС=СВ)

  3. Значит <А=<В (по теореме о свойствах углов равнобедренного треугольника)

  4. ∆ АВС с основанием АС –равнобедренный (по определению и АВ=СВ)

  5. Значит <А=<С (по теореме о свойствах углов равнобедренного треугольника)

  6. Получили, что <С=<А=<В, следовательно в равностороннем треугольнике все углы равны

  7. Утверждение задачи доказано.


IV этап

«Можно ли использовать данный метод решения в других подобных задачах?»

« Можно использовать при решении задач на нахождение величины угла в равнобедренном треугольнике».

«Придумать и решить задачу на доказательство, в которой использовались бы те же теоремы и определения».

4. Список используемой литературы.



  1. Математика в школе №2.- М.: Школа-Пресс, 1994.-80 с.

  2. Математика в школе №3.- М.: Школа-Пресс, 1994.-80 с.

  3. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: Квантор, 1991.-215 с.

  4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1988.-160 с.

  5. Погорелов А.В. Геометрия, 7-11 кл. С-Пб.: Хардфорд, 1996.-384 с.